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AMC12每日一题(2001年真题#15)

2018-07-28
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　　AMC不但是美国顶尖数学人才的人才库，更为学校提供了解申请入学者在数学科目上的学习成就与表现评估。AMC成功地为许多学生因测验成绩优良而进入理想学校。藉由设计严谨的试题，达到激发应试者解决问题的能力，培养对数学的兴趣。试题由简至难兼具，使任何程度的学生都能感受到挑战，还可以筛选出特有天赋者。AMC12的主要目的是在刺激学生对数学的兴趣并且透过选择题的方式来开启学生对数学的才能。

如果学生能预先练习必定能提高对数学的兴趣，最重要的是学生能集体参与对数学的练习远比一个人独自研读的效果来得好，特别在老师的指导之下，能够学习到如何分配时间解题。参予AMC12的学生应该不难发现测验的问题都很具挑战性，但测验的题型都不会超过学生的学习范围。这项测验希望每个考生能从竞赛中享受数学。今天课窝小编为大家整理了AMC12真题练习，希望考生们认真阅读，能够对你的考试有所帮助。

Problem

Points $A = (3,9)$ , $B = (1,1)$ , $C = (5,3)$ , and $D=(a,b)$ lie in the first quadrant and are the vertices of quadrilateral $ABCD$ . The quadrilateral formed by joining the midpoints of $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ , $\overline{CD}$ , and $\overline{DA}$ is a square. What is the sum of the coordinates of point $D$ ?

$\text{(A) }7 \qquad \text{(B) }9 \qquad \text{(C) }10 \qquad \text{(D) }12 \qquad \text{(E) }16$

Solution

[asy] pair A=(3,9), B=(1,1), C=(5,3), D=(7,3); draw(A--B--C--D--cycle); label("$A$",A,N); label("$B$",B,SW); label("$C$",C,N); label("$D$",D,E); pair AB = (A + B)/2, BC = (B + C)/2, CD = (C + D)/2, DA = (D + A)/2; draw(AB--BC--CD--DA--cycle); [/asy]

We already know two vertices of the square: $(A+B)/2 = (2,5)$ and $(B+C)/2 = (3,2)$ .

There are only two possibilities for the other vertices of the square: either they are $(6,3)$ and $(5,6)$ , or they are $(0,1)$ and $(-1,4)$ . The second case would give us $D$ outside the first quadrant, hence the first case is the correct one. As $(6,3)$ is the midpoint of $CD$ , we can compute $D=(7,3)$ , and $7+3=\boxed{10}$ .

问题

点 $A =（3,9）$ ， $B =（1,1）$ ， $C =（5,3）$ ，和 $d =（A，B）$ 位于第一象限和是四边形的顶点 $ABCD$ 。四边形通过连接的中点形成 $\ {划线AB}$ ， $\ {划线BC}$ ， $\ {划线CD}$ ，和 $\ {划线DA}$ 是正方形。点坐标的总和是 $d$ 多少？

$\ text {（A）} 7 \ qquad \ text {（B）} 9 \ qquad \ text {（C）} 10 \ qquad \ text {（D）} 12 \ qquad \ text {（E）} 16$

解

[asy]对A =（3,9），B =（1,1），C =（5,3），D =（7,3）; 绘制（A - B - C - d - 循环）; 标签（ “$ A $”，A，N）; 标签（ “$ B $”，B，SW）; 标签（ “$ C $”，C，N）; 标签（ “$ d $”，d，E）; 对AB =（A + B）/ 2，BC =（B + C）/ 2，CD =（C + D）/ 2，DA =（D + A）/ 2; 画（AB - BC - CD - DA - 循环）; [/ ASY]

我们已经知道了正方形的两个顶点： $（A + B）/ 2 =（2,5）$ 和 $（B + C）/ 2 =（3,2）$ 。

广场的其他顶点只有两种可能性：它们是 $（6,3）$ 和 $（5,6）$ ，或者它们是 $（0,1）$ 和 $（ - 1,4）$ 。第二种情况会使我们 $d$ 超出第一象限，因此第一种情况是正确的。正如 $（6,3）$ 中点 $CD$ ，我们可以计算 $d =（7,3）$ ，和 $7 + 3 = \盒装{10}$ 。