AMC12每日一题(2001年真题#16)
- 2018-08-01
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AMC不但是美 国顶尖数学人才的人才库,更为学校提供了解申请入学者在数学科目上的学习成就与表现评估。AMC成功地为许多学生因测验成绩优良而进入理想学校。藉由设计 严谨的试题,达到激发应试者解决问题的能力,培养对数学的兴趣。参予AMC12的学生应该不难发现测验的问题都很具挑战性,但测验的题型都不会超过学生的学习范围。这项测验希望每个考生能从竞赛中享受数学。今天课窝小编为大家整理了AMC12真题练习,希望考生们认真阅读,能够对你的考试有所帮助。
Problem
Four positive integers , , , and have a product of and satisfy:
What is ?
Solution 1
Using Simon's Favorite Factoring Trick, we can rewrite the three equations as follows:
Let . We get:
Clearly divides . On the other hand, can not divide , as it then would divide . Similarly, can not divide . Hence divides both and . This leaves us with only two cases: and .
The first case solves to , which gives us , but then . We do not need to multiply, it is enough to note e.g. that the left hand side is not divisible by . (Also, a - d equals in this case, which is way too large to fit the answer choices.)
The second case solves to , which gives us a valid quadruple , and we have .
Solution 2
As above, we can write the equations as follows:
Looking at the first two equations, we know that but not is a multiple of 5, and looking at the last two equations, we know that but not must be a multiple of 5 (since if or was a multiple of 5, then would also be a multiple of 5).
Thus, , and . The only answer choice where this is true is .
问题
四位正整数,,,和拥有的产品和满足:
是什么?
解决方案1
使用Simon最喜欢的Factoring Trick,我们可以重写三个方程如下:
我们。我们得到:
显然分歧。另一方面,不能分裂,因为它会分裂。同样,不能分。因此分割两者和。这让我们只有两个案例:和。
第一种情况解决了,这给了我们,但随后。我们不需要乘法,这足以说明例如左侧不能被整除。(此外,在这种情况下,a-d等于太大而无法满足答案选择。)
第二种情况解决了,它给了我们一个有效的四倍,我们有。
解决方案2
如上所述,我们可以编写如下公式:
看看前两个方程式,我们知道但不是5的倍数,并且看最后两个方程,我们知道但不一定是5的倍数(因为if 或是5的倍数,那么也会是5)的倍数。
因此,和。这是唯一的答案选择。
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