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AMC12每日一题(2001年真题#14)

2018-07-07
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　　AMC不但是美国顶尖数学人才的人才库，更为学校提供了解申请入学者在数学科目上的学习成就与表现评估。AMC成功地为许多学生因测验成绩优良而进入理想学校。藉由设计严谨的试题，达到激发应试者解决问题的能力，培养对数学的兴趣。试题由简至难兼具，使任何程度的学生都能感受到挑战，还可以筛选出特有天赋者。AMC12的主要目的是在刺激学生对数学的兴趣并且透过选择题的方式来开启学生对数学的才能。如果学生能预先练习必定能提高对数学的兴趣，最重要的是学生能集体参与对数学的练习远比一个人独自研读的效果来得好，特别在老师的指导之下，能够学习到如何分配时间解题。参予AMC12的学生应该不难发现测验的问题都很具挑战性，但测验的题型都不会超过学生的学习范围。这项测验希望每个考生能从竞赛中享受数学。今天课窝小编为大家整理了AMC12真题练习，希望考生们认真阅读，能够对你的考试有所帮助。

Problem

A point $P$ is selected at random from the interior of the pentagon with vertices $A = (0,2)$ , $B = (4,0)$ , $C = (2 \pi + 1, 0)$ , $D = (2 \pi + 1,4)$ , and $E=(0,4)$ . What is the probability that $\angle APB$ is obtuse?

$\text{(A) }\frac {1}{5} \qquad \text{(B) }\frac {1}{4} \qquad \text{(C) }\frac {5}{16} \qquad \text{(D) }\frac {3}{8} \qquad \text{(E) }\frac {1}{2}$

Solution

The angle $APB$ is obtuse if and only if $P$ lies inside the circle with diameter $AB$ . (This follows for example from the fact that the inscribed angle is half of the central angle for the same arc.)

[asy] defaultpen(0.8); real pi=3.14159265359; pair A=(0,2), B=(4,0), C=(2*pi+1, 0), D=(2*pi+1,4), E=(0,4), F=(0,0); draw(A--B--C--D--E--cycle); draw(circle((A+B)/2,length(B-A)/2)); label("$A$",A,W); label("$B$",B,SE); label("$C$",C,SE); label("$D$",D,NE); label("$E$",E,NW); label("$F$",F,SW); draw(A--F--B,dashed); [/asy]

The area of $AFB$ is $[AFB] = \frac {AF\cdot FB}2 = 4$ , and the area of $ABCDE$ is $CD\cdot DE - [AFB] = 4\cdot (2\pi+1) - 4 = 8\pi$ .

From the Pythagorean theorem the length of $AB$ is $\sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$ , thus the radius of the circle is $\sqrt{5}$ , and the area of the half-circle that is inside $ABCDE$ is $\frac{ 5\pi }2$ .

Therefore the probability that $APB$ is obtuse is $\frac{ \frac{ 5\pi }2 }{ 8\pi } = \boxed{\text{(C) } \frac 5{16}}$ .

译文：

问题

的点 $P$ 随机选择从五边形的内部与顶点 $A =（0,2）$ ， $B =（4,0）$ ， $C =（2 \ pi + 1,0）$ ， $D =（2 \ pi + 1,4）$ ，和 $E =（0,4）$ 。什么 $\ angle APB$ 是钝的概率？

$\ text {（A）} \ frac {1} {5} \ qquad \ text {（B）} \ frac {1} {4} \ qquad \ text {（C）} \ frac {5} {16} \ qquad \ text {（D）} \ frac {3} {8} \ qquad \ text {（E）} \ frac {1} {2}$

解

$APB$ 当且仅当 $P$ 位于具有直径的圆内时，该角度是钝的 $AB$ 。（例如，这是因为内切角是同一弧的中心角的一半。）

[asy] defaultpen（0.8）; real pi = 3.14159265359; 对A =（0,2），B =（4,0），C =（2 * pi + 1,0），D =（2 * pi + 1,4），E =（0,4），F =（0,0）; 绘制（A - B - C - d - 电子 - 循环）; 绘制（圆（（A + B）/ 2，长度（BA）/ 2））; 标签（ “$ A $”，A，W）; 标签（ “$ B $”，B，SE）; 标签（ “$ C $”，C，SE）; 标签（ “$ d $”，d，NE）; 标签（ “$ E $”，E，NW）; 标签（ “$ F $”，F，SW）; 绘制（A - F - B，虚线）; [/ ASY]