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AMC12每日一题(2001年真题#13)

2018-07-07
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　　AMC不但是美国顶尖数学人才的人才库，更为学校提供了解申请入学者在数学科目上的学习成就与表现评估。AMC成功地为许多学生因测验成绩优良而进入理想学校。藉由设计严谨的试题，达到激发应试者解决问题的能力，培养对数学的兴趣。试题由简至难兼具，使任何程度的学生都能感受到挑战，还可以筛选出特有天赋者。AMC12的主要目的是在刺激学生对数学的兴趣并且透过选择题的方式来开启学生对数学的才能。如果学生能预先练习必定能提高对数学的兴趣，最重要的是学生能集体参与对数学的练习远比一个人独自研读的效果来得好，特别在老师的指导之下，能够学习到如何分配时间解题。参予AMC12的学生应该不难发现测验的问题都很具挑战性，但测验的题型都不会超过学生的学习范围。这项测验希望每个考生能从竞赛中享受数学。今天课窝小编为大家整理了AMC12真题练习，希望考生们认真阅读，能够对你的考试有所帮助。

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Problem

A spider has one sock and one shoe for each of its eight legs. In how many different orders can the spider put on its socks and shoes, assuming that, on each leg, the sock must be put on before the shoe?

$\text{(A) }8! \qquad \text{(B) }2^8 \cdot 8! \qquad \text{(C) }(8!)^2 \qquad \text{(D) }\frac {16!}{2^8} \qquad \text{(E) }16!$

Solution

Solution 1

Let the spider try to put on all $16$ things in a random order. Each of the $16!$ permutations is equally probable. For any fixed leg, the probability that he will first put on the sock and only then the shoe is clearly $\frac{1}{2}$ . Then the probability that he will correctly put things on all legs is $\frac{1}{2^{8}}$ . Therefore the number of correct permutations must be $\boxed{\frac {16!}{2^8}}$ .

Solution 2

Each dressing sequence can be uniquely described by a sequence containing two $1$ s, two $2$ s, ..., and two $8$ s -- the first occurrence of number $x$ means that the spider puts the sock onto leg $x$ , the second occurrence of $x$ means he puts the shoe onto leg $x$ . If the numbers were all unique, the answer would be $16!$ . However, since 8 terms appear twice, the answer is $\frac{16!}{(2!)^8} = \boxed{\frac {16!}{2^8}}$ .

Solution 3

You can put all $8$ socks on first for $8!$ ways and then all $8$ shoes on next for $8!$ more ways. This is not the only possibility, so the lower bound is $(8!)^2$ . You can choose all $16$ in a random fashion, but some combinations would violate the rules, so the upper bound is $16!$ . $\text{(C)}$ & $\text{(E)}$ are the lower and upper bounds, so the answer is in between them, $\boxed{\frac {16!}{2^8}}$ .

译文：

问题

蜘蛛的八条腿各有一只袜子和一只鞋子。蜘蛛穿上袜子和鞋子有多少不同的订单，假设在每条腿上，袜子必须穿上鞋子？

$\ text {（A）} 8！ \ qquad \ text {（B）} 2 ^ 8 \ cdot 8！ \ qquad \ text {（C）}（8！）^ 2 \ qquad \ text {（D）} \ frac {16！} {2 ^ 8} \ qquad \ text {（E）} 16！$

解

解决方案1

让蜘蛛试图以 $$ $ 16$ 随机顺序放置所有东西。每个 $$ 16个$！$ 排列都是同样可能的。对于任何固定的腿，他第一次穿上袜子的可能性是明显的 $\压裂{1} {2}$ 。然后，他将正确地放在所有腿上的概率是 $\压裂{1} {2 ^ {8}}$ 。因此，必须有正确排列的数量 $\ boxed {\ frac {16！} {2 ^ 8}}$ 。

解决方案2

每个敷料序列可以通过包含两个 $1$ s，两个 $2$ s，......和两个 $$ $ 8$ s 的序列唯一地描述- 第一次出现的数字 $X$ 意味着蜘蛛将袜子放在腿上 $X$ ，第二次出现 $X$ 意味着他将鞋放入鞋中在腿上 $X$ 。如果数字都是唯一的，答案就是 $$ 16个$！$ 。但是，由于8个术语出现两次，答案是 $\ frac {16！} {（2！）^ 8} = \ boxed {\ frac {16！} {2 ^ 8}}$ 。

解决方案3

您可以 $$ $ 8$ 先将所有袜子放在首位 $$ 8 $！$ ，然后将所有 $$ $ 8$ 鞋子放在下一步以获得 $$ 8 $！$ 更多方式。这不是唯一的可能性，所以下限是 $（8！）^ 2$ 。您可以 $$ $ 16$ 随机选择所有内容，但某些组合会违反规则，因此上限为 $$ 16个$！$ 。 $\ {文本（C）}$ ＆ $\文{（E）}$ 是下限和上限，所以答案就在他们之间， $\ boxed {\ frac {16！} {2 ^ 8}}$ 。

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