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AMC10每日一题（2002年真题#04）

2018-07-23
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　　AMC不但是美国顶尖数学人才的人才库，更为学校提供了解申请入学者在数学科目上的学习成就与表现评估。AMC成功地为许多学生因测验成绩优良而进入理想学校。藉由设计严谨的试题，达到激发应试者解决问题的能力，培养对数学的兴趣。试题由简至难兼具，使任何程度的学生都能感受到挑战，还可以筛选出特有天赋者。AMC10是针对高中一年级及初中三年级学生的数学测验，25题选择题、考试时间75分钟;包含演算概念理解的数学题型。AMC10的测验允许使用计算器(工程用计算器除外)。

AMC10的主要目的是在刺激学生对数学的兴趣并且透过以选择题方式来开发学生对数学的才能;测验题型范围由容易到困难。参予AMC10的学生应该不难发现测验的问题都很具挑战性，但测验的题型都不会超过学生的学习范围。这项测验希望每个考生能从竞赛中享受数学。今天课窝小编为大家整理了AMC10真题练习，希望考生们认真阅读，能够对你的考试有所帮助。

Problem

Each of the small circles in the figure has radius one. The innermost circle is tangent to the six circles that surround it, and each of those circles is tangent to the large circle and to its small-circle neighbors. Find the area of the shaded region.

[asy] unitsize(.3cm); path c=Circle((0,2),1); filldraw(Circle((0,0),3),grey,black); filldraw(Circle((0,0),1),white,black); filldraw(c,white,black); filldraw(rotate(60)*c,white,black); filldraw(rotate(120)*c,white,black); filldraw(rotate(180)*c,white,black); filldraw(rotate(240)*c,white,black); filldraw(rotate(300)*c,white,black); [/asy]

$\text{(A)}\ \pi \qquad \text{(B)}\ 1.5\pi \qquad \text{(C)}\ 2\pi \qquad \text{(D)}\ 3\pi \qquad \text{(E)}\ 3.5\pi$

Solution

The outer circle has radius $1+1+1=3$ , and thus area $9\pi$ . The little circles have area $\pi$ each; since there are 7, their total area is $7\pi$ . Thus, our answer is $9\pi-7\pi=\boxed{2\pi\Rightarrow \text{(C)}}$ .

问题

图中的每个小圆都具有半径1。最里面的圆与围绕它的六个圆相切，并且每个圆与大圆相切并与其小圆相邻。找到阴影区域的区域。

[asy] unitize（.3cm）; 路径c =圆（（0,2），1）; filldraw（圆（（0,0），3），灰色，黑色）; filldraw（圆（（0,0），1），白，黑）; filldraw（C，白，黑）; filldraw（旋转（60）* C，白，黑）; filldraw（旋转（120）* C，白，黑）; filldraw（旋转（180）* C，白，黑）; filldraw（旋转（240）* C，白，黑）; filldraw（旋转（300）* C，白，黑）; [/ ASY]

$\ text {（A）} \\ pi \ qquad \ text {（B）} \ 1.5 \ pi \ qquad \ text {（C）} \ 2 \ pi \ qquad \ text {（D）} \ 3 \ pi \ qquad \ text {（E）} \ 3.5 \ pi$

解

外圆具有半径 $1 + 1 + 1 = 3$ ，因此具有面积 $$ 9 \ $ PI$ 。小圆圈各有面积 $$ \ $ PI$ ; 因为有7个，它们的总面积是 $7 \ PI$ 。因此，我们的答案是 $9 \ pi-7 \ pi = \ boxed {2 \ pi \ Rightarrow \ text {（C）}}$ 。