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AMC10每日一题（2002年真题#02）

2018-06-26
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　　AMC不但是美国顶尖数学人才的人才库，更为学校提供了解申请入学者在数学科目上的学习成就与表现评估。AMC成功地为许多学生因测验成绩优良而进入理想学校。藉由设计严谨的试题，达到激发应试者解决问题的能力，培养对数学的兴趣。试题由简至难兼具，使任何程度的学生都能感受到挑战，还可以筛选出特有天赋者。AMC10是针对高中一年级及初中三年级学生的数学测验，25题选择题、考试时间75分钟;包含演算概念理解的数学题型。AMC10的测验允许使用计算器(工程用计算器除外)。AMC10的主要目的是在刺激学生对数学的兴趣并且透过以选择题方式来开发学生对数学的才能;测验题型范围由容易到困难。参予AMC10的学生应该不难发现测验的问题都很具挑战性，但测验的题型都不会超过学生的学习范围。这项测验希望每个考生能从竞赛中享受数学。今天课窝小编为大家整理了AMC10真题练习，希望考生们认真阅读，能够对你的考试有所帮助。

Problem

Given that a, b, and c are non-zero real numbers, define $(a, b, c) = \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$ , find $(2, 12, 9)$ .

$\text{(A)}\ 4 \qquad \text{(B)}\ 5 \qquad \text{(C)}\ 6 \qquad \text{(D)}\ 7 \qquad \text{(E)}\ 8$

Solution

$(2, 12, 9)=\frac{2}{12}+\frac{12}{9}+\frac{9}{2}=\frac{1}{6}+\frac{4}{3}+\frac{9}{2}=\frac{1}{6}+\frac{8}{6}+\frac{27}{6}=\frac{36}{6}=6$ . Our answer is then $\boxed{\text{(C)}\ 6}$ .

Alternate solution for the lazy: Without computing the answer exactly, we see that $2/12=\text{a little}$ , $12/9=\text{more than }1$ , and $9/2=4.5$ . The sum is $4.5 + (\text{more than }1) + (\text{a little}) = (\text{more than }5.5) + (\text{a little})$ , and as all the options are integers, the correct one is obviously $6$ .

问题

鉴于a，b和c是非零实数，请定义 $（a，b，c）= \ frac {a} {b} + \ frac {b} {c} + \ frac {c} {a}$ ，查找 $（2，12，9）$ 。

$\ text {（A）} \ 4 \ qquad \ text {（B）} \ 5 \ qquad \ text {（C）} \ 6 \ qquad \ text {（D）} \ qquad \ text { ）} \ 8$

解

$（2,12,9）= \ frac {2} {12} + \ frac {12} {9} + \ frac {9} {2} = \ frac {1} {6} + \ frac {4} {3} + \压裂{9} {2} = \压裂{1} {6} + \压裂{8} {6} + \压裂{27} {6} = \压裂{36} {6} = 6$ 。那么我们的答案是 $\ boxed {\ text {（C）} \ 6}$ 。

懒惰的替代解决方案：如果没有准确计算答案，我们可以看到 $2/12 = \ text {一点}$ ， $12/9 = \ text {多于} 1$ 和 $9/2 = 4.5$ 。总和是 $（文本{大于} 1）+（\ text {小}} =（\ text {大于} 5.5）+（\ text {小}}$ ，而且所有的选项都是整数，显然是正确的 $6$ 。