干货 | GMAT数学难点之余数与质数解读（附例题讲解）

　　在GMAT数学考试当中，余数和质数都属于算术arithmetic一章当中整数的整除性部分的知识点，质数通常是运用在分解质因数求因数倍数问题当中，余数主要考察余数的性质和相关定理。

　　（一）质数prime number

　　A prime number is a positive integer that has exactly two different positive divisors, 1 and itself.

　　定义：

　　质数又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数。否则称为合数Composite number。

　　例题1：

　　The product P of two prime numbers is between 9 and 55. If one of the prime numbers is greater than 2 but less than 6 and the other is greater than 13 but less than 25, then P =？

　　A.15B.33C.34D.46E.51

　　【解析】E

　　本题就是考察质数

　　2-6之间的质数有：3,5

　　13-25之间的质数有：17,19,23

　　满足相乘在9-55的只有3*17=51

　　解题必看：

　　分解质因数Decomposition of the quality factor：任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数。分解质因数只针对合数。

　　例如24=2*2*2*3；34=2*17.

　　在涉及到求因数倍数的问题当中，分解质因数不失为一个很好的方法，通常应用在以下两个方面：

　　① 最大公因数greatest common factor

　　几个整数全部公有的质因数的乘积

　　② 最小公倍数least common multiple

　　几个整数所含质因数最高次方之间的乘积

　　例如50=2*5^2，60=2^2*3*5

　　它们最大公因数是：2*5=10；最小公倍数是：2^2*3*5^2=300

　　例题2：

　　If n is a positive integer and the product of all the integers from 1 to n, inclusive, is divisible by 990, what is the least possible value of n ?

　　A.8 B.9 C.10 D.11 E.12

　　【解析】D

　　990=2*3^2*5*11

　　n要能够被11整除

　　例题3：

　　If M is the least common multiple of 90, 196, and 300, which of the following is NOT a factor of M?

　　A.600B.700C.900D.2,100E.4,900

　　【解析】A

　　求解最小公倍数

　　90=3^2x2x5 196=2^2x7^2 300=3x2^2x5^2

　　M=2^2x3^2x5^2x7^2

　　600=2^3*3*5^2

　　（二）余数remainder

　　If x and y are positive integers, there exist unique integers q and r, called the quotient and remainder,respectively, such that y=xq+r and 0 < r< x.

　　性质1：

　　指整数除法中被除数未被除尽部分，且余数的取值范围为0到除数之间(不包括除数)的整数。例如27除以6，商数为4，余数为3。

　　性质2：

　　一个数除以另一个数，要是比另一个数小的话，商为0，余数就是它自己。例如1除以2，商数为0，余数为1。2除以3，商数为0，余数为2。

　　例题4：

　　When positive integer x is divided by positive integer y, the remainder is 9.If x/y=96.12,what is the value of y ?

　　A.96B.75C.48D.25E.12

　　【解析】B

　　y*0.12=9

　　y=75

　　例题5：

　　When positive integer M is divided by positive integer N, the remainder is 5. N is less than 7, what is the value of N?

　　A.4B.5C.6D.7E.8

　　【解析】C

　　N的余数是5，所以5<N

　　那么5<N<7

　　解题必看：

　　余数的重要定理是同余定理，首先要理解同余的概念。

　　① 同余

　　两个整数a,b,若它们除以整除c所得的余数相同，则称为a、b关于c同余。

　　② 同余定理

　　若a、b两数除以c所得余数分别是m、n，则有如下规律：

　　a+b与m+n关于c同余

　　a-b 与m-n关于c同余

　　axb与mxn关于c同余

　　例题6：

　　What is the remainder when the sum of the positive integers x and y is divided by 6?

　　(1) When x is divided by 6, the remainder is 3.

　　(2) When y is divided by 6, the remainder is 1.

　　【解析】C

　　条件1：x=6a+3，不充分

　　条件2：y=6b+1，不充分

　　结合：x+y除以的余数=3+1=4，充分

　　例题7：

　　When positive integer x is divided by 5, the remainder is 3; and when x is divided by 7, the remainder is 4. When positive integer y is divided by 5, the remainder is 3; and when y is divided by 7, the remainder is 4. If x＞y, which of the following must be a factor of x - y?

　　A.12B.15C.20D.28E.35

　　【解析】E

　　推论：如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。

　　x和y除以5和除以7的余数都相同，所以x-y含有因数5和7。

　　例题8：

　　求478×296×351除以17的余数

　　【解析】余数是1

　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11

　　（2×7×11）除以17余数是1

　　所求余数是1。

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