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AMC12每日一题(2001年真题#09)

2018-06-21
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　　AMC不但是美国顶尖数学人才的人才库，更为学校提供了解申请入学者在数学科目上的学习成就与表现评估。AMC成功地为许多学生因测验成绩优良而进入理想学校。藉由设计严谨的试题，达到激发应试者解决问题的能力，培养对数学的兴趣。试题由简至难兼具，使任何程度的学生都能感受到挑战，还可以筛选出特有天赋者。AMC12的主要目的是在刺激学生对数学的兴趣并且透过选择题的方式来开启学生对数学的才能。如果学生能预先练习必定能提高对数学的兴趣，最重要的是学生能集体参与对数学的练习远比一个人独自研读的效果来得好，特别在老师的指导之下，能够学习到如何分配时间解题。参予AMC12的学生应该不难发现测验的问题都很具挑战性，但测验的题型都不会超过学生的学习范围。这项测验希望每个考生能从竞赛中享受数学。今天课窝小编为大家整理了AMC12真题练习，希望考生们认真阅读，能够对你的考试有所帮助。

Problem

Given the nine-sided regular polygon $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 A_8 A_9$ , how many distinct equilateral triangles in the plane of the polygon have at least two vertices in the set $\{A_1,A_2,\dots,A_9\}$ ?

$\text{(A) }30 \qquad \text{(B) }36 \qquad \text{(C) }63 \qquad \text{(D) }66 \qquad \text{(E) }72$

Solution

Each of the ${9\choose 2}=36$ pairs of vertices determines two equilateral triangles, one on each side of the segment. This would give us $72$ triangles. However, note that there are three equilateral triangles that have all three vertices among the vertices of the polygon. These are the triangles $A_1A_4A_7$ , $A_2A_5A_8$ , and $A_3A_6A_9$ . We counted each of these three times (once for each side). Hence we overcounted by $2$ for each of these triangles for a total of $6$ overcounted, and the correct number of equilateral triangles is $72-6=\boxed{66}$ .

问题

考虑到九边正多边形 $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 A_8 A_9$ ，多边形平面中有多少不同的正三角形在该集合中至少有两个顶点 $\ {A_1，A_2，\点，A_9 \}$ ？

$$ \ text {（A）} 30 \ qquad \ text {（B）} 36 \ qquad \ text {（C）} 63 \ qquad \ text {（D）} 66 \ qquad \ text {$

解

每 ${9 \ choose 2} = 36$ 对顶点确定两个等边三角形，每个边上有一个三角形。这会给我们 $$ $ 72$ 三角形。但是请注意，有三个等边三角形具有多边形顶点中的所有三个顶点。这些都是三角形 $A_1A_4A_7$ ， $A_2A_5A_8$ 和 $A_3A_6A_9$ 。我们对这三次中的每一次都进行了计数（每边一次）。因此，我们 $2$ 对这些三角形中的每一个都进行了总计 $6$ 超额计算，并且等边三角形的正确数量是 $72-6 = \ {盒装66}$ 。