专家免费评估留学案例雅思保分免费备考资料留学热线 400-880-6200

AMC10每日一题（2001年真题#15）

2018-06-19
847 人浏览
分享
收藏

　　AMC不但是美国顶尖数学人才的人才库，更为学校提供了解申请入学者在数学科目上的学习成就与表现评估。AMC成功地为许多学生因测验成绩优良而进入理想学校。藉由设计严谨的试题，达到激发应试者解决问题的能力，培养对数学的兴趣。试题由简至难兼具，使任何程度的学生都能感受到挑战，还可以筛选出特有天赋者。AMC10是针对高中一年级及初中三年级学生的数学测验，25题选择题、考试时间75分钟;包含演算概念理解的数学题型。AMC10的测验允许使用计算器(工程用计算器除外)。AMC10的主要目的是在刺激学生对数学的兴趣并且透过以选择题方式来开发学生对数学的才能;测验题型范围由容易到困难。参予AMC10的学生应该不难发现测验的问题都很具挑战性，但测验的题型都不会超过学生的学习范围。这项测验希望每个考生能从竞赛中享受数学。今天课窝小编为大家整理了AMC10真题练习，希望考生们认真阅读，能够对你的考试有所帮助。

Problem

How many positive integers not exceeding $2001$ are multiples of $3$ or $4$ but not $5$ ?

$\text{(A) }768 \qquad \text{(B) }801 \qquad \text{(C) }934 \qquad \text{(D) }1067 \qquad \text{(E) }1167$

Solution 1

Out of the numbers $1$ to $12$ four are divisible by $3$ and three by $4$ , counting $12$ twice. Hence $6$ out of these $12$ numbers are multiples of $3$ or $4$ .

The same is obviously true for the numbers $12k+1$ to $12k+12$ for any positive integer $k$ .

Hence out of the numbers $1$ to $60=5\cdot 12$ there are $5\cdot 6=30$ numbers that are divisible by $3$ or $4$ . Out of these $30$ , the numbers $15$ , $20$ , $30$ , $40$ , $45$ and $60$ are divisible by $5$ . Therefore in the set $\{1,\dots,60\}$ there are precisely $30-6=24$ numbers that satisfy all criteria from the problem statement.

Again, the same is obviously true for the set $\{60k+1,\dots,60k+60\}$ for any positive integer $k$ .

We have $1980/60 = 33$ , hence there are $24\cdot 33 = 792$ good numbers among the numbers $1$ to $1980$ . At this point we already know that the only answer that is still possible is $\boxed{\text{(B)}}$ , as we only have $20$ numbers left.

By examining the remaining $20$ by hand we can easily find out that exactly $9$ of them match all the criteria, giving us $792+9=\boxed{801}$ good numbers. This is correct.

Solution 2

We can solve this problem by finding the cases where the number is divisible by $3$ or $4$ , then subtract from the cases where none of those cases divide $5$ . To solve the ways the numbers divide $3$ or $4$ we find the cases where a number is divisible by $3$ and $4$ as separate cases. We apply the floor function to every case to get $\left\lfloor \frac{2001}{3} \right\rfloor$ , $\left\lfloor \frac{2001}{4} \right\rfloor$ , and $\left\lfloor \frac{2001}{12} \right\rfloor$ . The first two floor functions were for calculating the number of individual cases for $3$ and $4$ . The third case was to find any overlapping numbers. The numbers were $667$ , $500$ , and $166$ , respectively. We add the first two terms and subtract the third to get $1001$ . The first case is finished.

The second case is more or less the same, except we are applying $3$ and $4$ to $5$ . We must find the cases where the first case over counts multiples of five. Utilizing the floor function again on the fractions $\left\lfloor \frac{2001}{3*5} \right\rfloor$ , $\left\lfloor \frac{2001}{4*5} \right\rfloor$ , and $\left\lfloor \frac{2001}{3*4*5} \right\rfloor$ yields the numbers $133$ , $100$ , and $33$ . The first two numbers counted all the numbers that were multiples of either four with five or three with five less than $2001$ . The third counted the overlapping cases, which we must subtract from the sum of the first two. We do this to reach $200$ . Subtracting this number from the original $1001$ numbers procures $\boxed{\textbf{(B)}\ 801}$ .

Solution 3

First find the number of such numbers between 1 and 2000 (inclusive) and then add one to this result because 2001 is a multiple of 3.

There are $\frac45*2000=1600$ numbers that are not multiples of $5$ . $\frac23*\frac34*1600=800$ are not multiples of $3$ or $4$ , so $800$ numbers are. $800+1=\boxed{\textbf{(B)}\ 801}$

Solution 4

Take a good-sized sample of consecutive integers; for example, the first 25 positive integers. Determine that the numbers 3, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 21, and 24 exhibit the properties given in the question. 25 is a divisor of 2000, so there are $\frac{9}{25}*2000=800$ numbers satisfying the given conditions between 1 and 2000. Since 2001 is a multiple of 3, add 1 to 800 to get $800+1=\boxed{\textbf{(B)}\ 801}$ .

问题

有多少积极的整数不超过 $$ $ 2001$ 是 $3$ 或 $4$ 不是的倍数 $5$ ？

$\ text {（A）} 768 \ qquad \ text {（B）} 801 \ qquad \ text {（C）} 934 \ qquad \ text {（D）} 1067 \ qquad \ text {（E）} 1167$

解决方案1

数字 $1$ 中有 $12$ 四个可以被 $3$ 三整除 $4$ ，计数 $12$ 两次。因此 $6$ ，这些 $12$ 数字是 $3$ 或的倍数 $4$ 。

这同样适用于数字显然是真的 $12K + 1$ 要 $$ 12K + $ 12$ 为任意正整数 $ķ$ 。

因此，从数字 $1$ 到 $60 = 5 \ cdot 12$ 有 $5 \ cdot 6 = 30$ 通过整除的数字 $3$ 或 $4$ 。这些中 $$ $ 30$ ，数字 $15$ ， $20$ ， $$ $ 30$ ， $$ $ 40$ ， $$ $ 45$ 和 $$ $ 60$ 是整除 $5$ 。因此，在集合 $\ {1，\点，60 \}$ 中，恰好有 $30-6 = 24$ 数字满足问题陈述中的所有标准。

同样， $\ {60K + 1，\点，60K + 60 \}$ 对于任何正整数的集合显然都是如此 $ķ$ 。

我们有 $1980/60 = 33$ ，因此有 $24 \ cdot 33 = 792$ 数量当中不错的数据 $1$ 来 $1980年的$ $$ 。在这一点上，我们已经知道唯一的答案仍然是可能的 $\盒装{\ {文本（B）}}$ ，因为我们只剩下 $20$ 数字。

通过 $20$ 手工检查剩下的部分，我们可以很容易地发现它们恰恰 $9$ 符合所有标准，给我们提供了 $792 + 9 = \ {盒装801}$ 很好的数据。这是对的。

解决方案2

我们可以通过查找案件在数量是整除解决这个问题 $3$ 还是 $4$ ，然后从那里没有这些案件划分情况下减 $5$ 。为了解决数字划分的方式， $3$ 或者 $4$ 我们找到一个数字可以被整除的情况， $3$ 以及 $4$ 作为单独的情况。我们采用地板函数任何情况下获得 $\ left \ lfloor \ frac {2001} {3} \ right \ rfloor$ ， $\ left \ lfloor \ frac {2001} {4} \ right \ rfloor$ 和 $\ left \ lfloor \ frac {2001} {12} \ right \ rfloor$ 。前两个楼层的功能是计算个别案件的数量 $3$ 和 $4$ 。第三种情况是找到任何重叠的数字。数字分别是 $667$ ，， $$ $ 500$ 和 $$ $ 166$ 。我们添加前两项并减去第三项 $1001$ 。第一个案子已经完成。

第二种情况或多或少是相同的，除了我们正在申请 $3$ 和 $4$ 要求 $5$ 。我们必须找出第一起案件超过五倍的情况。再次利用地板功能的分数 $\ left \ lfloor \ frac {2001} {3 * 5} \ right \ rfloor$ ， $\ left \ lfloor \ frac {2001} {4 * 5} \ right \ rfloor$ 以及 $\ left \ lfloor \ frac {2001} {3 * 4 * 5} \ right \ rfloor$ 产生的数字 $$ $ 133$ ， $$ $ 100$ 和 $$ $ 33$ 。前两个数字是所有数字的四倍，五倍或三倍，五倍不足 $$ $ 2001$ 。第三个数字是重叠的情况，我们必须从前两个数字的总和中减去。我们这样做是为了达到 $$ $ 200$ 。从原始 $1001$ 数字中减去此数字 $\ boxed {\ textbf {（B）} \ 801}$ 。

解决方案3

首先找到1到2000（含）之间的这些数字的数量，然后在此结果中加1，因为2001是3的倍数。

有 $\ frac45 * 2000 = 1600$ 数字不是数字的倍数 $5$ 。 $$ \ frac23 * \ frac34 * 1600 = $ 800$ 不是 $3$ 或的倍数 $4$ ，所以 $$ $ 800$ 数字是。 $800 + 1 = \ boxed {\ textbf {（B）} \ 801}$

解决方案4

取一个大小合适的连续整数样本; 例如，前25个正整数。确定数字3,4,6,8,12,16,18,21和24显示问题中给出的属性。25是2000的除数，所以有 $$ \压裂{9} {25} * 2000 = $ 800$ 数字满足1到2000之间的给定条件。自2001年以来是3的倍数，加1到800得到 $800 + 1 = \ boxed {\ textbf {（B）} \ 801}$ 。

　　以上就是课窝考试网为大家带来的有关AMC课程信息，想要获取更多AMC报名信息，AMC数学竞赛，AMC竞赛培训请继续关注课窝哦!