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AMC8每日一题(2001年真题#14)

　　今天课窝小编为大家整理了AMC8真题练习，希望考生们认真阅读，能够对你的考试有所帮助。

2001 AMC 8 Problems/Problem 23

Problem

Points $R$ , $S$ and $T$ are vertices of an equilateral triangle, and points $X$ , $Y$ and $Z$ are midpoints of its sides. How many noncongruent triangles can be drawn using any three of these six points as vertices?

$[asy] pair SS,R,T,X,Y,Z; SS = (2,2*sqrt(3)); R = (0,0); T = (4,0); X = (2,0); Y = (1,sqrt(3)); Z = (3,sqrt(3)); dot(SS); dot(R); dot(T); dot(X); dot(Y); dot(Z); label("$S$",SS,N); label("$R$",R,SW); label("$T$",T,SE); label("$X$",X,S); label("$Y$",Y,NW); label("$Z$",Z,NE); [/asy]$

$\text{(A)}\ 1 \qquad \text{(B)}\ 2 \qquad \text{(C)}\ 3 \qquad \text{(D)}\ 4 \qquad \text{(E)}\ 20$

Solution

There are $6$ points in the figure, and $3$ of them are needed to form a triangle, so there are ${6\choose{3}} =20$ possible triples of $3$ of the $6$ points. However, some of these created congruent triangles, and some don't even make triangles at all.

Case 1: Triangles congruent to $\triangle RST$ There is obviously only $1$ of these: $\triangle RST$ itself.

Case 2: Triangles congruent to $\triangle SYZ$ There are $4$ of these: $\triangle SYZ, \triangle RXY, \triangle TXZ,$ and $\triangle XYZ$ .

Case 3: Triangles congruent to $\triangle RSX$ There are $6$ of these: $\triangle RSX, \triangle TSX, \triangle STY, \triangle RTY, \triangle RSZ,$ and $\triangle RTZ$ .

Case 4: Triangles congruent to $\triangle SYX$ There are again $6$ of these: $\triangle SYX, \triangle SZX, \triangle TYZ, \triangle TYX, \triangle RXZ,$ and $\triangle RYZ$ .

However, if we add these up, we accounted for only $1+4+6+6=17$ of the $20$ possible triplets. We see that the remaining triplets don't even form triangles; they are $SYR, RXT,$ and $TZS$ . Adding these $3$ into the total yields for all of the possible triplets, so we see that there are only $4$ possible non-congruent, non-degenerate triangles, $\boxed{\text{D}}$

问题

点 $R$ ， $S$ 并且 $T$ 是等边三角形的顶点和点 $X$ ， $Y$ 并且 $Z$ 是其边的中点。使用这六个点中的任何三个作为顶点可以绘制多少个非一致三角形？

$[asy]对SS，R，T，X，Y，Z; SS =（2,2 * sqrt（3））; R =（0,0）; T =（4,0）; X =（2,0）; Y =（1，sqrt（3））; Z =（3，sqrt（3））; 点（SS）; 点（R）; 点（T）; 点（X）; 点（Y）; 点（Z）; 标签（ “$ S $”，SS，N）; 标签（ “$ R $”，R，SW）; 标签（ “$ T $”，T，SE）; 标签（ “$ X $”，X，S）; 标签（ “$ Y $”，Y，NW）; 标签（ “$ Z $”，Z，NE）; [/ ASY]$

$\ text {（A）} \ 1 \ qquad \ text {（B）} \ 2 \ qquad \ text {（C）} \ 3 \ qquad \ text {（D）} \ 4 \ qquad \ text {（E ）} \ 20$

解

有 $6$ 图中的点， $3$ 他们都需要形成一个三角形，所以有 ${6 \选择{3}} = 20$ 可能的三元组 $3$ 的的 $6$ 点。然而，其中一些创建了全等三角形，有些甚至根本不制作三角形。

案例1：三角形一致， $\ triangle RST$ 显然只有 $1$ 这些： $\ triangle RST$ 本身。

案例2：三角形一致， $\ triangle SYZ$ 有以下 $4$ 几种： $\三角形SYZ，\三角形RXY，\三角形TXZ，$ 和 $\ triangle XYZ$ 。

案例3：三角形一致， $\ triangle RSX$ 有以下 $6$ 几种： $\ triangle RSX，\ triangle TSX，\ triangle STY，\ triangle RTY，\ triangle RSZ，$ 和 $\ triangle RTZ$ 。

案例4：三角形一致， $\ triangle SYX$ 还有 $6$ 这些： $\ triangle SYX，\ triangle SZX，\ triangle TYZ，\ triangle TYX，\ triangle RXZ，$ 和 $\ triangle RYZ$ 。

但是，如果我们添加这些，我们只 $1 + 4 + 6 + 6 = 17$ 考虑 $20$ 可能的三元组。我们看到剩下的三胞胎甚至不形成三角形; 他们是 $SYR，RXT，$ 和 $$ $先令$ 。将这些添加 $3$ 到所有可能的三元组的总产量中，因此我们看到只有 $4$ 可能的非一致，非简并三角形， $\盒装{\ {文字d}}$

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