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AMC12每日一题(2001年真题#16)

　　AMC不但是美国顶尖数学人才的人才库，更为学校提供了解申请入学者在数学科目上的学习成就与表现评估。AMC成功地为许多学生因测验成绩优良而进入理想学校。藉由设计严谨的试题，达到激发应试者解决问题的能力，培养对数学的兴趣。参予AMC12的学生应该不难发现测验的问题都很具挑战性，但测验的题型都不会超过学生的学习范围。这项测验希望每个考生能从竞赛中享受数学。今天课窝小编为大家整理了AMC12真题练习，希望考生们认真阅读，能够对你的考试有所帮助。

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Problem

Four positive integers $a$ , $b$ , $c$ , and $d$ have a product of $8!$ and satisfy:

$\begin{align*} ab + a + b & = 524 \\ bc + b + c & = 146 \\ cd + c + d & = 104 \end{align*}$

What is $a-d$ ?

$\text{(A) }4 \qquad \text{(B) }6 \qquad \text{(C) }8 \qquad \text{(D) }10 \qquad \text{(E) }12$

Solution 1

Using Simon's Favorite Factoring Trick, we can rewrite the three equations as follows:

$\begin{align*} (a+1)(b+1) & = 525 \\ (b+1)(c+1) & = 147 \\ (c+1)(d+1) & = 105 \end{align*}$

Let $(e,f,g,h)=(a+1,b+1,c+1,d+1)$ . We get:

$\begin{align*} ef & = 3\cdot 5\cdot 5\cdot 7 \\ fg & = 3\cdot 7\cdot 7 \\ gh & = 3\cdot 5\cdot 7 \end{align*}$

Clearly $7^2$ divides $fg$ . On the other hand, $7^2$ can not divide $f$ , as it then would divide $ef$ . Similarly, $7^2$ can not divide $g$ . Hence $7$ divides both $f$ and $g$ . This leaves us with only two cases: $(f,g)=(7,21)$ and $(f,g)=(21,7)$ .

The first case solves to $(e,f,g,h)=(75,7,21,5)$ , which gives us $(a,b,c,d)=(74,6,20,4)$ , but then $abcd \not= 8!$ . We do not need to multiply, it is enough to note e.g. that the left hand side is not divisible by $7$ . (Also, a - d equals $70$ in this case, which is way too large to fit the answer choices.)

The second case solves to $(e,f,g,h)=(25,21,7,15)$ , which gives us a valid quadruple $(a,b,c,d)=(24,20,6,14)$ , and we have $a-d=24-14 =\boxed{10}$ .

Solution 2

As above, we can write the equations as follows:

$\begin{align*} (a+1)(b+1) & = 525 \\ (b+1)(c+1) & = 147 \\ (c+1)(d+1) & = 105 \end{align*}$

Looking at the first two equations, we know that $a+1$ but not $b+1$ is a multiple of 5, and looking at the last two equations, we know that $(d+1)$ but not $(c+1)$ must be a multiple of 5 (since if $b+1$ or $c+1$ was a multiple of 5, then $(b+1)(c+1)$ would also be a multiple of 5).

Thus, $(a+1) \equiv (d+1) \equiv 0 \hspace{1 mm} \text{(mod 5)}$ , and $a - d \equiv 0 \hspace{1 mm} \text{(mod 5)}$ . The only answer choice where this is true is $\boxed{\text{D) 10}}$ .

问题

四位正整数 $A$ ， $B$ ， $C$ ，和 $d$ 拥有的产品 $$ 8 $！$ 和满足：

$\ begin {align *} ab + a + b＆= 524 \\ bc + b + c＆= 146 \\ cd + c + d＆= 104 \ end {align *}$

是什么 $$ $广告$ ？

$\ text {（A）} 4 \ qquad \ text {（B）} 6 \ qquad \ text {（C）} 8 \ qquad \ text {（D）} 10 \ qquad \ text {（E）} 12$

解决方案1

使用Simon最喜欢的Factoring Trick，我们可以重写三个方程如下：

$\ begin {align *}（a + 1）（b + 1）＆= 525 \\（b + 1）（c + 1）＆= 147 \\（c + 1）（d + 1）＆= 105 \端对齐{*}$

我们 $（E，F，G，H）=（A + 1，B + 1，C + 1，d + 1）$ 。我们得到：

$\ begin {align *} ef＆= 3 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 7 \\ fg＆= 3 \ cdot 7 \ cdot 7 \\ gh＆= 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ end {align *}$

显然 $7·2$ 分歧 $FG$ 。另一方面， $7·2$ 不能分裂 $F$ ，因为它会分裂 $EF$ 。同样， $7·2$ 不能分 $G$ 。因此 $7$ 分割两者 $F$ 和 $G$ 。这让我们只有两个案例： $（F，G）=（7,21）$ 和 $（F，G）=（21,7）$ 。

第一种情况解决了 $（E，F，G，H）=（75,7,21,5）$ ，这给了我们 $（A，B，C，d）=（74,6,20,4）$ ，但随后 $abcd \ not = 8！$ 。我们不需要乘法，这足以说明例如左侧不能被整除 $7$ 。（此外， $$ $ 70$ 在这种情况下，a-d等于太大而无法满足答案选择。）

第二种情况解决了 $（E，F，G，H）=（25,21,7,15）$ ，它给了我们一个有效的四倍 $（A，B，C，d）=（24,20,6,14）$ ，我们有 $ad = 24-14 = \ boxed {10}$ 。

解决方案2

如上所述，我们可以编写如下公式：

$\ begin {align *}（a + 1）（b + 1）＆= 525 \\（b + 1）（c + 1）＆= 147 \\（c + 1）（d + 1）＆= 105 \端对齐{*}$

看看前两个方程式，我们知道 $A + 1$ 但不是 $B + 1$ 5的倍数，并且看最后两个方程，我们知道 $（d + 1）$ 但不一定 $（C + 1）$ 是5的倍数（因为if $B + 1$ 或是 $C + 1$ 5的倍数，那么 $（B + 1）（C + 1）$ 也会是5）的倍数。

因此 $（a + 1）\ equiv（d + 1）\ equiv 0 \ hspace {1 mm} \ text {（mod 5）}$ ，和 $a - d \ equiv 0 \ hspace {1 mm} \ text {（mod 5）}$ 。这是唯一的答案选择 $\ boxed {\ text {D）10}}$ 。

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