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AMC12每日一题(2001年真题#14)

　　AMC不但是美国顶尖数学人才的人才库，更为学校提供了解申请入学者在数学科目上的学习成就与表现评估。AMC成功地为许多学生因测验成绩优良而进入理想学校。藉由设计严谨的试题，达到激发应试者解决问题的能力，培养对数学的兴趣。试题由简至难兼具，使任何程度的学生都能感受到挑战，还可以筛选出特有天赋者。AMC12的主要目的是在刺激学生对数学的兴趣并且透过选择题的方式来开启学生对数学的才能。

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如果学生能预先练习必定能提高对数学的兴趣，最重要的是学生能集体参与对数学的练习远比一个人独自研读的效果来得好，特别在老师的指导之下，能够学习到如何分配时间解题。参予AMC12的学生应该不难发现测验的问题都很具挑战性，但测验的题型都不会超过学生的学习范围。这项测验希望每个考生能从竞赛中享受数学。今天课窝小编为大家整理了AMC12真题练习，希望考生们认真阅读，能够对你的考试有所帮助。

Problem

The polynomial $p(x) = x^3+ax^2+bx+c$ has the property that the average of its zeros, the product of its zeros, and the sum of its coefficients are all equal. The $y$ -intercept of the graph of $y=p(x)$ is 2. What is $b$ ?

$(\mathrm{A})\ -11 \qquad (\mathrm{B})\ -10 \qquad (\mathrm{C})\ -9 \qquad (\mathrm{D})\ 1 \qquad (\mathrm{E})\ 5$

Solution

We are given $c=2$ . So the product of the roots is $-c = -2$ by Vieta's formulas. These also tell us that $\frac{-a}{3}$ is the average of the zeros, so $\frac{-a}3=-2 \implies a = 6$ . We are also given that the sum of the coefficients is $-2$ , so $1+6+b+2 = -2 \implies b=-11$ . So the answer is $\fbox{A}$ .

问题

多项式 $p（x）= x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c$ 具有以下性质：零的平均值，其零的乘积和它们的系数之和都是相等的。- $Y$ 图的截距 $Y = P（X）$ 是2.是什么 $B$ ？

$（\ mathrm {A}）\ -11 \ qquad（\ mathrm {B}）\ -10 \ qquad（\ mathrm {C}）\ -9 \ qquad（\ mathrm {D}）\ 1 \ qquad（\ mathrm {E}）\ 5$

解

我们得到了 $C = 2$ 。所以根的产品是 $-c = -2$ 由韦达定理。这些也告诉我们这 $\压裂{-a} {3}$ 是零的平均值，所以 $\ frac {-a} 3 = -2 \暗示a = 6$ 。我们还给出了系数的总和 $-2$ ，所以 $1 + 6 + b + 2 = -2 \暗示b = -11$ 。所以答案是 $\ fbox {A}$ 。