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AMC12每日一题(2000年真题#12)

2000 AMC 12竞赛试题/第12题


Problem

Let $A, M,$ and $C$ be nonnegative integers such that $A + M + C=12$. What is the maximum value of $A \cdot M \cdot C + A \cdot M + M \cdot C + A \cdot C$?

$\mathrm{(A) \ 62 } \qquad \mathrm{(B) \ 72 } \qquad \mathrm{(C) \ 92 } \qquad \mathrm{(D) \ 102 } \qquad \mathrm{(E) \ 112 }$


Solution 1

It is not hard to see that\[(A+1)(M+1)(C+1)=\]\[AMC+AM+AC+MC+A+M+C+1\]Since $A+M+C=12$, we can rewrite this as\[(A+1)(M+1)(C+1)=\]\[AMC+AM+AC+MC+13\]So we wish to maximize\[(A+1)(M+1)(C+1)-13\]Which is largest when all the factors are equal (consequence of AM-GM). Since $A+M+C=12$, we set $A=B=C=4$ Which gives us\[(4+1)(4+1)(4+1)-13=112\]so the answer is $\boxed{\text{E}}$.


Solution 2

If you know that to maximize your result you have to make the numbers as close together as possible, (for example to maximize area for a shape make it a square) then you can try to make $A,M$ and $C$ as close as possible. In this case, they would all be equal to $4$, so $AMC+AM+AC+MC=64+16+16+16=112$, giving you the answer of $\boxed{\text{E}}$.


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AMC12每日一题(2000年真题#13)

2000 AMC 12竞赛试题/第13题

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