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AMC12每日一题(2000年真题#07)

2000 AMC 12竞赛试题/第7题


Problem

How many positive integers $\displaystyle b$ have the property that $\displaystyle \log_{b} 729$ is a positive integer?

$\mathrm{(A) \ 0 } \qquad \mathrm{(B) \ 1 } \qquad \mathrm{(C) \ 2 } \qquad \mathrm{(D) \ 3 } \qquad \mathrm{(E) \ 4 }$


Solution

If $\displaystyle \log_{b} 729 = n$, then $b^n = 729$. Since $729 = 3^6$, $\displaystyle b$ must be $3$ to some factor of 6. Thus, there are four (3, 9, 27, 729) possible values of $\displaystyle b$ $\Longrightarrow \mathrm{E}$.


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